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Software Design for Flexibility (Hanson & Sussman 2021) 전문을 wiki/sources/ 아래 챕터별 한국어 wiki 페이지로 컴파일 - SDF-overview: 전체 개요, 챕터 관계도, 공통 테마 - SDF-ch1: 가산적 프로그래밍 철학, 퇴화성, 유연성 비용 - SDF-ch2: 컴비네이터, DSL, 래퍼, 도메인 모델 - SDF-ch3: 제네릭 프로시저, 자동 미분, 트라이 디스패치 - SDF-ch4: 패턴 매칭, 항 재작성, 단일화, 타입 추론 - SDF-ch5: eval/apply, lazy eval, amb, call/cc - SDF-ch6: 레이어드 데이텀/프로시저, 단위 산술, 의존성 추적 - SDF-ch7: 전파 모델, 부분 정보 결합, 의존성 지향 백트래킹 wiki/index.md Sources 섹션 등록, wiki/log.md 기록 Co-Authored-By: Claude Sonnet 4.6 <noreply@anthropic.com>
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title: "Ch3: Variations on an Arithmetic Theme"
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tags: [source, SDF]
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source: "Software Design for Flexibility, Hanson & Sussman (2021)"
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chapter: 3
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updated: 2026-04-30
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# Ch3: Variations on an Arithmetic Theme
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## 핵심 아이디어
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**술어-디스패치 제네릭 프로시저(predicate-dispatched generic procedures)**를 중심으로, 기존 프로그램의 동작을 확장하는 강력하지만 위험한 기법을 다룬다. 산술 연산의 의미를 수치에서 기호, 함수, 미분 객체로 확장하는 과정을 통해 제네릭 시스템의 설계 원칙을 보여준다.
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## 주요 개념
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### 3.1 산술 패키지 컴비네이터
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**산술 패키지(arithmetic package)**: 연산자 이름에서 구현으로의 매핑. `install-arithmetic!`으로 사용자 환경에 설치.
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**적용 가능성 명세(applicability specification)**: 술어 리스트의 리스트. 인수들이 케이스 중 하나를 만족하면 해당 핸들러 적용.
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```scheme
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;; 수치 산술: (number? number?) 케이스만 적용
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;; 기호 산술: (number? symbolic?), (symbolic? number?),
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;; (symbolic? symbolic?) 케이스에 적용
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(define combined-arithmetic
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(extend-arithmetic symbolic-extender numeric-arithmetic))
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```
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`add-arithmetics` 컴비네이터로 산술들을 결합. 그러나 컴비네이터 방식은 한계가 있다:
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- 부품의 형태를 미리 결정해야 함
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- 계층화된 구조(예: 함수 산술)를 나중에 확장하기 어려움
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- 자기 참조 구조 불가
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### 3.2 확장 가능한 제네릭 프로시저
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컴비네이터의 한계를 극복하기 위해 **동적으로 확장 가능한 제네릭 프로시저** 도입.
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```scheme
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;; 생성
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(define plus (simple-generic-procedure 'plus 2 #f))
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;; 핸들러 추가
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(define-generic-procedure-handler plus
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(all-args 2 number?)
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(lambda (a b) (+ a b)))
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(define-generic-procedure-handler plus
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(any-arg 2 symbolic? number?)
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(lambda (a b) (list '+ a b)))
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```
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**구현 메커니즘**:
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1. `generic-procedure-constructor`: 디스패치 전략을 인자로 받아 제네릭 프로시저 생성기 반환
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2. `dispatch-store`: 핸들러 저장/검색 전략 캡슐화
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3. 메타데이터 테이블: 제네릭 프로시저에 "스티키 노트"로 규칙 목록 첨부
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**제네릭 산술의 폐쇄성(closure)**: 모든 확장을 제네릭 산술 자체를 기반으로 만들면 자기 참조 구조가 가능하다.
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```scheme
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(let ((g (make-generic-arithmetic make-simple-dispatch-store)))
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(add-to-generic-arithmetic! g numeric-arithmetic)
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(extend-generic-arithmetic! g symbolic-extender)
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(extend-generic-arithmetic! g function-extender)
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(install-arithmetic! g))
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```
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**주의**: 핸들러 추가 순서에 의존성이 생길 수 있다. 적용 가능성이 겹치는 규칙들의 순서에 따라 결과가 달라짐.
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### 3.3 자동 미분 (Automatic Differentiation)
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제네릭 프로시저의 탁월한 응용 예시. **미분 객체(differential object)** `[x, δx]`를 새 데이터 타입으로 도입:
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$$[x, \delta x] \xrightarrow{f} [f(x), Df(x)\delta x]$$
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각 산술 연산에 미분 객체 처리 핸들러를 추가하기만 하면, 함수의 합성을 통해 연쇄 법칙이 자동으로 적용된다.
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```scheme
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(define (derivative f)
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(define (the-derivative x)
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(let* ((dx (make-new-dx))
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(value (f (d:+ x (make-infinitesimal dx)))))
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(extract-dx-part value dx)))
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the-derivative)
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;; sqrt의 미분 핸들러
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(define diff:sqrt
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(diff:unary-proc sqrt (lambda (x) (/ 1 (* 2 (sqrt x))))))
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```
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고차 함수(함수를 반환하는 함수)에서의 미분은 기술적 복잡성이 있다: dx 태그 충돌 문제를 `replace-dx` 메커니즘으로 해결.
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### 3.4 효율적인 디스패치
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**단순 선형 스캔의 문제**: 많은 규칙에서 동일한 술어를 반복 호출.
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**트라이(Trie) 기반 디스패치**:
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- 인수 시퀀스를 트라이로 인덱싱
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- 첫 번째 인수의 타입으로 후보 규칙 집합을 좁힘
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- 중복 술어 평가 제거
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**캐싱**:
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- 인수의 구현 타입 태그를 키로 사용
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- 이전 디스패치 결과를 해시 테이블에 캐시
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- `cache-wrapped-dispatch-store`로 임의의 디스패치 전략에 캐싱 추가
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### 3.5 사용자 정의 타입
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**추상 술어(abstract predicate)**: 비용이 높은 술어 평가를 메모이즈. 객체에 태그를 붙여 이후 디스패치에서 비싼 술어 재평가 불필요.
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```scheme
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(define prime-number?
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(simple-abstract-predicate 'prime-number slow-prime?))
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(set-predicate<=! prime-number? exact-integer?)
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;; 이후 exact-integer? 도 prime-number 객체를 인식
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```
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**서브타입 관계 선언**: `set-predicate<=!`로 부분집합 관계 명시. 가장 특수적인 핸들러가 선택됨.
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### 3.5.4 어드벤처 게임
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제네릭 프로시저와 사용자 정의 타입의 실용적 응용 예시.
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```scheme
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;; 이동 행동이 4개 인수 타입의 조합에 따라 달라짐
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(define generic-move!
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(most-specific-generic-procedure 'generic-move! 4 #f))
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(define-generic-procedure-handler generic-move!
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(match-args mobile-thing? place? bag? person?) ...)
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(define-generic-procedure-handler generic-move!
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(match-args mobile-thing? bag? place? person?) ...)
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(define-generic-procedure-handler generic-move!
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(match-args person? place? place? person?) ...)
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```
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단일 디스패치 OOP와 달리, 모든 인수 타입의 조합에 따라 행동이 결정되므로 더 자연스러운 분해가 가능하다.
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## 핵심 인용
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> "Systems built by combinators, as in section 3.1, result in beautiful diamond-like systems. This is sometimes the right idea... but it is very hard to add to a diamond. If a system is built as a ball of mud, it is easy to add more mud."
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> "Construction of a system on a substrate of extensible generic procedures is a powerful idea... a user may extend them to support arithmetic on quaternions, vectors, matrices, integers modulo a prime, functions, tensors, differential forms..."
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> "It is better to have 100 functions operate on one data structure than 10 functions on 10 data structures." (Alan Perlis)
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## 관련 개념
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- [[SDF-ch2-dsl]] — 컴비네이터 기반 접근의 한계에서 제네릭 프로시저로 이행
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|
- [[SDF-ch4-pattern-matching]] — 제네릭 프로시저의 패턴 기반 확장
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|
- [[SDF-ch6-layering]] — 제네릭 프로시저와 밀접한 레이어링
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|
- [[SDF-ch7-propagation]] — 타입 태그와 의존성 추적의 결합
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|
- [[SDF-overview]]
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